ILOCZYN SKALARNY WEKTORÓW - ZADANIA

Zadanie 2

Oblicz iloczyn skalarny pary wektorów \(\vec{u} = 3\vec{i} - 2\vec{k}\) oraz \(\vec{v} = -\vec{i} + 3\vec{j} - 7\vec{k}\).

Sposób I – Wykorzystanie współrzędnych

Zapisujemy wektory w postaci współrzędnych (pamiętając o zerze przy braku składowej \(\vec{j}\)):
\(\vec{u} = [3, 0, -2]\)
\(\vec{v} = [-1, 3, -7]\)

Korzystamy ze wzoru na iloczyn skalarny: \[\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z\] \[\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot (-1) + 0 \cdot 3 + (-2) \cdot (-7) = -3 + 0 + 14 = 11\]

Sposób II – Bezpośrednie wymnażanie wersorów

Wymnażamy każdy wyraz pierwszego wektora przez każdy wyraz drugiego wektora: \[\vec{u} \cdot \vec{v} = (3\vec{i} - 2\vec{k}) \cdot (-\vec{i} + 3\vec{j} - 7\vec{k})\] \[\vec{u} \cdot \vec{v} = 3\vec{i} \cdot (-\vec{i}) + 3\vec{i} \cdot 3\vec{j} + 3\vec{i} \cdot (-7\vec{k}) - 2\vec{k} \cdot (-\vec{i}) - 2\vec{k} \cdot 3\vec{j} - 2\vec{k} \cdot (-7\vec{k})\] \[\vec{u} \cdot \vec{v} = -3(\vec{i} \cdot \vec{i}) + 9(\vec{i} \cdot \vec{j}) - 21(\vec{i} \cdot \vec{k}) + 2(\vec{k} \cdot \vec{i}) - 6(\vec{k} \cdot \vec{j}) + 14(\vec{k} \cdot \vec{k})\]

Pamiętamy, że dla iloczynu skalarnego wersorów osi:
\(\vec{i} \cdot \vec{i} = \vec{j} \cdot \vec{j} = \vec{k} \cdot \vec{k} = 1\) (wersory są równe i mają długość 1)
\(\vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{i} \cdot \vec{k} = \vec{j} \cdot \vec{k} = 0\) (wersory są prostopadłe)

Podstawiamy wartości: \[\vec{u} \cdot \vec{v} = -3(1) + 9(0) - 21(0) + 2(0) - 6(0) + 14(1) = -3 + 14 = 11\]

Odpowiedź: Iloczyn skalarny obu wektorów wynosi \(11\).