ILOCZYN SKALARNY WEKTORÓW
Mnożenie skalarne wektorów jest to operacja, której wynikiem jest
liczba.
Iloczyn skalarny wektorów \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) oznaczamy symbolem
\(\vec{u}\circ\vec{v}\).
Definicja (Iloczyn skalarny wektorów)
Niech \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) będą dowolnymi wektorami w przestrzeni \(R^3\).
Iloczynem skalarnym wektorów \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) nazywamy liczbę określoną wzorem
\[
\vec{u}\circ\vec{v}
=
|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cos\varphi
\]
gdzie:
\(\varphi\) – kąt między wektorami,
\(|\vec{u}|\), \(|\vec{v}|\) – długości wektorów
\(R^3\) - przestrzeń trójwymiarowa.
Twierdzenie (Wzór na iloczyn skalarny)
Jeżeli
\[
\vec{u}=[x_1,y_1,z_1],\qquad
\vec{v}=[x_2,y_2,z_2],
\]
to
\[
\vec{u}\circ\vec{v}
=
x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2
\]
Wyprowadzenie wzoru
Niech
\[
\vec{u}=[x_1,y_1,z_1],
\qquad
\vec{v}=[x_2,y_2,z_2].
\]
Rozważmy wektor
\[\vec{u}-\vec{v}\]
Z definicji długości wektora
\[
|\vec{u}-\vec{v}|^2=
(x_1-x_2)^2+
(y_1-y_2)^2+
(z_1-z_2)^2.
\]
Rozwijając kwadraty otrzymujemy
\[
\begin{aligned}
|\vec{u}-\vec{v}|^2
=&\,x_1^2+x_2^2-2x_1x_2\\
&+y_1^2+y_2^2-2y_1y_2\\
&+z_1^2+z_2^2-2z_1z_2.
\end{aligned}
\]
Grupując wyrazy dostajemy
\[
|\vec{u}-\vec{v}|^2=
|\vec{u}|^2+
|\vec{v}|^2-
2(x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2).
\]
Z drugiej strony z twierdzenia cosinusów dla trójkąta utworzonego przez
wektory \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) oraz \(\vec{u}-\vec{v}\) mamy
\[
|\vec{u}-\vec{v}|^2=
|\vec{u}|^2+
|\vec{v}|^2-
2|\vec{u}||\vec{v}|\cos\varphi.
\]
Porównując oba wzory otrzymujemy
\[
|\vec{u}||\vec{v}|\cos\varphi=
x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2.
\]
Korzystając z definicji iloczynu skalarnego
\[
\vec{u}\circ\vec{v}
=
|\vec{u}||\vec{v}|\cos\varphi,
\]
dostajemy szukany wzór
\[\large
\vec{u}\circ\vec{v}
=
x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2.
\]
Korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz wzoru na jego obliczanie,
możemy wyznaczyć kąt między wektorami.
\[
\varphi=
\arccos
\left(
\frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}
{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\,
\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}
\right)
\]
Iloczyn skalarny wersorów osi
Ponieważ wersory osi są prostopadłe do siebie to kąt między nimi wynosi 90 stopni. A \(\cos 90^o=0\), więc iloczyn skalarny dowolnych dwóch różnych wersorów osi wynosi 0 np.
\[\vec{i}\circ \vec{j}=0\,\,\quad \vec{i}\circ \vec{k}=0\,\,\quad \vec{k}\circ \vec{j}=0 \]
Iloczyn skalarny wersora z samym sobą wynosi 1, ponieważ kąt między tymi samymi wersorami wynosi 0 stopni, a \(\cos 0^o=1\), .
\[\vec{i}\circ \vec{i}=1\,\,\quad \vec{j}\circ \vec{j}=1\,\,\quad \vec{k}\circ \vec{k}=1 \]
Własności (Iloczynu skalarnego)
1. \(\vec{u}\circ\vec{v}=\vec{v}\circ\vec{u}\)
2. \((\alpha\vec{u})\circ\vec{v}=\alpha(\vec{u}\circ\vec{v})\)
3. \((\vec{u}+\vec{v})\circ\vec{w}=\vec{u}\circ\vec{w}+\vec{v}\circ\vec{w}\)
4. \(\vec{u}\circ\vec{u}=|\vec{u}|^2\)
5. \(|\vec{u}\circ\vec{v}|\le |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\)
6. Wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy
\[
\vec{u}\circ\vec{v}=0.
\]
ILOCZYN SKALARNY WEKTORÓW - ZADANIA
Zadanie 1
Oblicz iloczyn skalarny wektorów \(\vec{u} = [2, -1, 4]\) oraz \(\vec{v} = [1, 3, -2]\) w przestrzeni \(R^3\).
Rozwiązanie
Zadanie 2
Wyznacz miarę kąta \(\varphi\) między wektorami \(\vec{u} = [1, 0, 1]\) oraz \(\vec{v} = [0, 1, 1]\).
Rozwiązanie
Zadanie 3
Dane są wektory \(\vec{u} = [m, 2, -1]\) oraz \(\vec{v} = [m, -m, 3]\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są do siebie prostopadłe.
Rozwiązanie
Zadanie 4
Wyznacz współrzędne wektora \(\vec{w}\) o długości \(1\), który jest prostopadły do dwóch wektorów \(\vec{u} = [1, -2, 0]\) oraz \(\vec{v} = [0, 3, -2]\).
Rozwiązanie
