ILOCZYN SKALARNY WEKTORÓW - ZADANIA
Zadanie 3
Dane są wektory \(\vec{u} = [m, 2, -1]\) oraz \(\vec{v} = [m, -m, 3]\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są do siebie prostopadłe.
Rozwiązanie
Korzystamy z warunku prostopadłości wektorów (\(\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \circ \vec{v} = 0\)):
\( \vec{u} \circ \vec{v} = m \cdot m + 2 \cdot (-m) + (-1) \cdot 3 = 0 \)
Przekształcamy wyrażenie do postaci ogólnej równania kwadratowego:
\( m^2 - 2m - 3 = 0 \)
Obliczamy wyróżnik równania kwadratowego (\(\Delta\)) i wyznaczamy jego pierwiastki:
\( \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \implies \sqrt{\Delta} = 4 \)
\( m_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1, \quad m_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \)
Odpowiedź
Wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są prostopadłe dla \(m = -1\) oraz dla \(m = 3\).
