RÓWNANIA WIELOMIANOWE - ZADANIA
Zadanie 3
Rozwiąż równanie: \( 2x^5 - 4x^4 - 18x^3 + 36x^2 = 0 \)
Rozwiązanie
Zauważamy, że najniższą potęgą jest \( x^2 \), a wszystkie współczynniki są parzyste. Wyłączamy \( 2x^2 \) przed nawias:\( 2x^2(x^3 - 2x^2 - 9x + 18) = 0 \)
Wyznaczamy pierwszy pierwiastek (jest to pierwiastek podwójny):
\( 2x^2 = 0 \implies x = 0 \)
\( 2x^2 = 0 \implies x = 0 \)
Teraz rozwiązujemy równanie trzeciego stopnia z nawiasu metodą grupowania wyrazów:
\( x^2(x - 2) - 9(x - 2) = 0 \)
\( (x - 2)(x^2 - 9) = 0 \)
\( x^2(x - 2) - 9(x - 2) = 0 \)
\( (x - 2)(x^2 - 9) = 0 \)
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów \( a^2 - b^2 \):
\( (x - 2)(x - 3)(x + 3) = 0 \)
\( (x - 2)(x - 3)(x + 3) = 0 \)
Przyrównujemy nawiasy do zera:
\( x - 2 = 0 \implies x = 2 \)
\( x - 3 = 0 \implies x = 3 \)
\( x + 3 = 0 \implies x = -3 \)
\( x - 2 = 0 \implies x = 2 \)
\( x - 3 = 0 \implies x = 3 \)
\( x + 3 = 0 \implies x = -3 \)
Odpowiedź
Rozwiązaniami równania są liczby: \( x \in \{-3, 0, 2, 3\} \).