RÓWNANIA WIELOMIANOWE - ZADANIA

Zadanie 5

Rozwiąż równanie: \( x^3 + x(x - 3)^2 = 4x^2 - 3x \)

Rozwiązanie

Najpierw rozpisujemy nawias, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \):
\( x^3 + x(x^2 - 6x + 9) = 4x^2 - 3x \)

Mnożymy nawias przez \( x \) i przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę:
\( x^3 + x^3 - 6x^2 + 9x - 4x^2 + 3x = 0 \)

Redukujemy wyrazy podobne:
\( 2x^3 - 10x^2 + 12x = 0 \)

Zauważamy, że każdy wyraz dzieli się przez \( 2x \). Wyłączamy ten czynnik przed nawias:
\( 2x(x^2 - 5x + 6) = 0 \)

Przyrównujemy czynniki do zera. Pierwsze rozwiązanie to:
\( 2x = 0 \implies x = 0 \)

Rozwiązujemy równanie kwadratowe \( x^2 - 5x + 6 = 0 \):
\( \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 \)
\( \sqrt{\Delta} = 1 \)

Obliczamy pierwiastki \( x_1 \) i \( x_2 \):
\( x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \)
\( x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \)

Odpowiedź

Rozwiązaniami równania są liczby: \( x \in \{0, 2, 3\} \).