RÓWNANIA WIELOMIANOWE - ZADANIA

Zadanie 8

Rozwiąż równanie metodą grupowania: \( x^3 = 2x^2 - 2 + x \).

Rozwiązanie

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę i porządkujemy je malejąco według potęg:
\( x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0 \)

Grupujemy wyrazy: pierwsze dwa oraz dwa ostatnie (pamiętając o zmianie znaku w drugim nawiasie z powodu minusa przed nim):
\( (x^3 - 2x^2) - (x - 2) = 0 \)

Z pierwszego nawiasu wyłączamy \( x^2 \):
\( x^2(x - 2) - 1(x - 2) = 0 \)

Teraz wyłączamy wspólny nawias \( (x - 2) \) przed całość:
\( (x - 2)(x^2 - 1) = 0 \)

Drugi nawias możemy dodatkowo rozłożyć, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:
\( (x - 2)(x - 1)(x + 1) = 0 \)

Przyrównujemy każdy z czynników do zera:
\( x - 2 = 0 \implies x = 2 \)
\( x - 1 = 0 \implies x = 1 \)
\( x + 1 = 0 \implies x = -1 \)

Odpowiedź

Rozwiązaniami równania są liczby: \( x \in \{-1, 1, 2\} \).