RÓWNANIA WIELOMIANOWE - ZADANIA
Zadanie 10
Rozwiąż równanie: \( x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0 \).
Rozwiązanie
Wypisujemy dzielniki wyrazu wolnego \( 6 \), czyli wszystkich kandydatów na pierwiastki wymierne:\( D_6 = \{ 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6 \} \)
Sprawdzamy pierwszego kandydata \( x = 1 \):
\( W(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 + 6 = 0 \)
Ponieważ \( W(1) = 0 \), to na mocy Twierdzenia Bézouta wielomian jest podzielny przez dwumian \( (x - 1) \).
\( W(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 + 6 = 0 \)
Ponieważ \( W(1) = 0 \), to na mocy Twierdzenia Bézouta wielomian jest podzielny przez dwumian \( (x - 1) \).
Wykonujemy dzielenie pisemne wielomianu przez dwumian \( (x - 1) \):
\( (x - 1)(x^2 - x - 6) = 0 \)
\[
\begin{array}{r|l}
x^2 - x - 6\ & \\
\hline
(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) &: (x - 1) \\
- x^3 + x^2\ & (+) \\
\hline
\quad \, -x^2 - 5x + 6 & \\
+ x^2 - x\ & (+) \\
\hline
\quad \, -6x + 6 & \\
+ 6x - 6 & (+) \\
\hline
\quad \, 0 & \\
\end{array}
\]
Dzięki dzieleniu zapisujemy wielomian w postaci iloczynowej:\( (x - 1)(x^2 - x - 6) = 0 \)
Obliczamy wyróżnik trójmianu \( x^2 - x - 6 \):
\( \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 \)
\( \sqrt{\Delta} = 5 \)
\( \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 \)
\( \sqrt{\Delta} = 5 \)
Wyznaczamy pierwiastki \( x_1 \) oraz \( x_2 \):
\( x_1 = \frac{1 - 5}{2} = -2 \)
\( x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3 \)
\( x_1 = \frac{1 - 5}{2} = -2 \)
\( x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3 \)
Odpowiedź
Rozwiązaniami równania są liczby: \( x \in \{-2, 1, 3\} \).