RÓWNANIA WIELOMIANOWE - ZADANIA
Zadanie 11
Rozwiąż równanie: \( x^3 = 6 - 5x \).
Rozwiązanie
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę, aby po prawej otrzymać zero:\( x^3 + 5x - 6 = 0 \)
Wypisujemy dzielniki wyrazu wolnego \( -6 \), czyli kandydatów na pierwiastki:
\( D_{-6} = \{ 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6 \} \)
\( D_{-6} = \{ 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6 \} \)
Sprawdzamy liczbę \( 1 \):
\( W(1) = 1^3 + 5(1) - 6 = 1 + 5 - 6 = 0 \)
Liczba \( 1 \) jest pierwiastkiem, więc na mocy Twierdzenia Bézouta dzielimy wielomian przez \( (x - 1) \).
\( W(1) = 1^3 + 5(1) - 6 = 1 + 5 - 6 = 0 \)
Liczba \( 1 \) jest pierwiastkiem, więc na mocy Twierdzenia Bézouta dzielimy wielomian przez \( (x - 1) \).
Wykonujemy dzielenie (zauważ, że w wielomianie brakuje potęgi \( x^2 \), więc traktujemy ją jako \( 0x^2 \)):
\( (x - 1)(x^2 + x + 6) = 0 \)
\[
\begin{array}{r|l}
x^2 + x + 6\ & \\
\hline
(x^3 + 0x^2 + 5x - 6) &: (x - 1) \\
- x^3 + x^2\ & (+) \\
\hline
\quad \, x^2 + 5x - 6 & \\
- x^2 + x\ & (+) \\
\hline
\quad \, 6x - 6 & \\
- 6x + 6 & (+) \\
\hline
\quad \, 0 & \\
\end{array}
\]
Otrzymujemy postać iloczynową:\( (x - 1)(x^2 + x + 6) = 0 \)
Sprawdzamy drugi nawias \( x^2 + x + 6 = 0 \). Liczymy deltę:
\( \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 \)
\( \Delta = 1 - 24 = -23 \)
Delta jest ujemna, co oznacza, że to równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych.
\( \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 \)
\( \Delta = 1 - 24 = -23 \)
Delta jest ujemna, co oznacza, że to równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Odpowiedź
Jedynym rozwiązaniem rzeczywistym równania jest liczba \( x = 1 \).