RÓWNANIA WIELOMIANOWE - ZADANIA
Zadanie 12
Rozwiąż równanie: \( x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12 = 0 \)
Krok 1: Pierwszy pierwiastek i pierwsze dzielenie, są to:
Wypisujemy dzielniki wyrazu wolnego \( 12 \), \( D_{12} = \{ \pm 1, \pm 2, \pm3, \pm 4, \pm 6 \pm 12 \} \)
Dla \( x = 1 \):
\( W(1) = 1^4 + 2 \cdot 1^3 - 7 \cdot 1^2 - 8 \cdot 1 + 12 = 1 + 2 - 7 - 8 + 12 = 0 \)
Liczba \( 1 \) jest pierwiastkiem. Dzielimy wielomian przez \( (x - 1) \):
\[
\begin{array}{r|l}
x^3 + 3x^2 - 4x - 12\ & \\
\hline
(x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12) &: (x - 1) \\
- x^4 + x^3\ & (+) \\
\hline
\quad \, 3x^3 - 7x^2\ & \\
- 3x^3 + 3x^2\ & (+) \\
\hline
\quad \, -4x^2 - 8x\ & \\
+ 4x^2 - 4x\ & (+) \\
\hline
\quad \, -12x + 12 & \\
+ 12x - 12 & (+) \\
\hline
\quad \, 0 & \\
\end{array}
\]
Mamy postać: \( (x - 1)(x^3 + 3x^2 - 4x - 12) = 0 \).
Krok 2: Drugi pierwiastek i drugie dzielenie
Teraz badamy wielomian:\( P(x) = x^3 + 3x^2 - 4x - 12 \).
Szukamy dzielinka wyrazu wolnego \( 12 \), czyli jak wyżej:
\( D_{12} = \{ \pm 1, \pm 2, \pm3, \pm 4, \pm 6 \pm 12 \} \)
Dla \( x = 2 \):
\( P(2) = 2^3 + 3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 - 12 = 8 + 12 - 8 - 12 = 0 \)
Liczba \( 2 \) jest pierwiastkiem, więc na mocy Twierdzenia Bézouta dzielimy wielomian przez przez \( (x - 2) \):
\[
\begin{array}{r|l}
x^2 + 5x + 6\ & \\
\hline
(x^3 + 3x^2 - 4x - 12) &: (x - 2) \\
- x^3 + 2x^2\ & (+) \\
\hline
\quad \, 5x^2 - 4x - 12 & \\
- 5x^2 + 10x\ & (+) \\
\hline
\quad \, 6x - 12 & \\
- 6x + 12 & (+) \\
\hline
\quad \, 0 & \\
\end{array}
\]
Mamy postać: \( (x - 1)(x - 2)(x^2 + 5x + 6) = 0 \).
Krok 3: Wyznaczenie ostatnich pierwiastków
Rozwiązujemy równanie kwadratowe:\( x^2 + 5x + 6 = 0 \):
\( \Delta = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \implies \sqrt{\Delta} = 1 \)
\( x_3 = \frac{-5 - 1}{2} = -3, \quad x_4 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \)
Odpowiedź
Rozwiązaniami równania są liczby: \( x \in \{-3, -2, 1, 2\} \).