RÓWNANIA WIELOMIANOWE - ZADANIA
Zadanie 13
Rozwiąż równanie: \( 12x^3 - 28x^2 + 3x + 18 = 0 \)
Rozwiązanie
Szukamy pierwiastków wymiernych wśród dzielników wyrazu wolnego \( p=18 \) i współczynnika \( q=12 \):Wypisujemy te dzielniki:
\( p \in \{ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18 \}, \quad q \in \{ 1, 2, 3, 4, 6, 12 \} \)
Kandydaci na pierwiastki wymierne \( \frac{p}{q} \):
\( \{ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{2}{3}, \dots \} \)
Próba 1: Sprawdzamy \( x = \frac{2}{3} \):
\( W(\frac{2}{3}) = 12(\frac{8}{27}) - 28(\frac{4}{9}) + 3(\frac{2}{3}) + 18 = \frac{32}{9} - \frac{112}{9} + 2 + 18 = -\frac{80}{9} + 20 \neq 0 \)
Próba 2: Sprawdzamy \( x = -\frac{2}{3} \) (licznik 2 i mianownik 3 są pierwsze):
\( W(-\frac{2}{3}) = 12(-\frac{8}{27}) - 28(\frac{4}{9}) + 3(-\frac{2}{3}) + 18 \)
\( W(-\frac{2}{3}) = -\frac{32}{9} - \frac{112}{9} - 2 + 18 = -\frac{144}{9} + 16 = -16 + 16 = 0 \)
Liczba \( -\frac{2}{3} \) jest pierwiastkiem. Zatem wielomian jest podzielny przez dwumian \( (x + \frac{2}{3}) \).
\( W(\frac{2}{3}) = 12(\frac{8}{27}) - 28(\frac{4}{9}) + 3(\frac{2}{3}) + 18 = \frac{32}{9} - \frac{112}{9} + 2 + 18 = -\frac{80}{9} + 20 \neq 0 \)
Próba 2: Sprawdzamy \( x = -\frac{2}{3} \) (licznik 2 i mianownik 3 są pierwsze):
\( W(-\frac{2}{3}) = 12(-\frac{8}{27}) - 28(\frac{4}{9}) + 3(-\frac{2}{3}) + 18 \)
\( W(-\frac{2}{3}) = -\frac{32}{9} - \frac{112}{9} - 2 + 18 = -\frac{144}{9} + 16 = -16 + 16 = 0 \)
Liczba \( -\frac{2}{3} \) jest pierwiastkiem. Zatem wielomian jest podzielny przez dwumian \( (x + \frac{2}{3}) \).
Wykonujemy dzielenie pisemne:
\[
\begin{array}{r|l}
12x^2 - 36x + 27\ & \\
\hline
(12x^3 - 28x^2 + 3x + 18) &: (x + \frac{2}{3}) \\
- 12x^3 - 8x^2\ & (+) \\
\hline
\quad \, -36x^2 + 3x + 18 & \\
+ 36x^2 + 24x\ & (+) \\
\hline
\quad \, 27x + 18 & \\
- 27x - 18 & (+) \\
\hline
\quad \, 0 & \\
\end{array}
\]
Otrzymujemy postać: \( (x + \frac{2}{3})(12x^2 - 36x + 27) = 0 \).
Mamy równanie kwadratowe \( 12x^2 - 36x + 27 = 0 \).
Dla ułatwienia obliczeń możemy podzielić równanie obustronnie przez 3:
\( 4x^2 - 12x + 9 = 0 \)
Wypisujemy współczynniki:
\( a = 4, \quad b = -12, \quad c = 9 \)
Obliczamy deltę (\( \Delta \)):
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( \Delta = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 \)
\( \Delta = 144 - 144 = 0 \)
Ponieważ \( \Delta = 0 \), równanie ma jeden pierwiastek podwójny, który obliczamy ze wzoru:
\( x_{2,3} = \frac{-b}{2a} \)
\( x_{2,3} = \frac{-(-12)}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \)
Dla ułatwienia obliczeń możemy podzielić równanie obustronnie przez 3:
\( 4x^2 - 12x + 9 = 0 \)
Wypisujemy współczynniki:
\( a = 4, \quad b = -12, \quad c = 9 \)
Obliczamy deltę (\( \Delta \)):
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( \Delta = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 \)
\( \Delta = 144 - 144 = 0 \)
Ponieważ \( \Delta = 0 \), równanie ma jeden pierwiastek podwójny, który obliczamy ze wzoru:
\( x_{2,3} = \frac{-b}{2a} \)
\( x_{2,3} = \frac{-(-12)}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \)
Odpowiedź
Rozwiązaniami równania są liczby wymierne: \( x_1 = -\frac{2}{3} \) (pierwiastek pojedynczy) oraz \( x_2 = \frac{3}{2} \) (pierwiastek podwójny).