RÓWNANIA WIELOMIANOWE - ZADANIA
Zadanie 14
Rozwiąż równanie: \( 36x^3 + 12x^2 - 5x - 1 = 0 \).
Rozwiązanie
Szukamy pierwiastków wymiernych wśród dzielników wyrazu wolnego \( p=1 \) i współczynnika \( q=36 \).Wypisujemy te dzielniki:
\( p \in \{ \pm 1 \}, \quad q \in \{ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 \} \)
Kandydaci na pierwiastki wymierne \( \frac{p}{q} \):
\( \{ \pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{6}, \dots \} \)
Sprawdzamy \( x = \frac{1}{3} \):
\( W(\frac{1}{3}) = 36 \cdot \frac{1}{27} + 12 \cdot \frac{1}{9} - 5 \cdot \frac{1}{3} - 1 = \) \(\frac{4}{3} + \frac{4}{3} - \frac{5}{3} - 1 = \frac{8}{3} - \frac{5}{3} - 1 = 0 \)
Liczba \( \frac{1}{3} \) jest pierwiastkiem, więc dzielimy wielomian przez \( (x - \frac{1}{3}) \).
\( W(\frac{1}{3}) = 36 \cdot \frac{1}{27} + 12 \cdot \frac{1}{9} - 5 \cdot \frac{1}{3} - 1 = \) \(\frac{4}{3} + \frac{4}{3} - \frac{5}{3} - 1 = \frac{8}{3} - \frac{5}{3} - 1 = 0 \)
Liczba \( \frac{1}{3} \) jest pierwiastkiem, więc dzielimy wielomian przez \( (x - \frac{1}{3}) \).
Wykonujemy dzielenie pisemne:
\[
\begin{array}{r|l}
36x^2 + 24x + 3\ & \\
\hline
(36x^3 + 12x^2 - 5x - 1) &: (x - \frac{1}{3}) \\
- 36x^3 + 12x^2\ & (+) \\
\hline
\quad \, 24x^2 - 5x - 1 & \\
- 24x^2 + 8x\ & (+) \\
\hline
\quad \, 3x - 1 & \\
- 3x + 1 & (+) \\
\hline
\quad \, 0 & \\
\end{array}
\]
Otrzymujemy postać iloczynową: \( (x - \frac{1}{3})(36x^2 + 24x + 3) = 0 \).
Rozwiązujemy równanie kwadratowe z drugiego nawiasu: \(36x^2 + 24x + 3\) .
Najpierw upraszczamy je dzieląc przez 3:
\( 12x^2 + 8x + 1 = 0 \)
\( \Delta = 8^2 - 4 \cdot 12 \cdot 1 = 64 - 48 = 16 \)
\( \sqrt{\Delta} = 4 \)
Najpierw upraszczamy je dzieląc przez 3:
\( 12x^2 + 8x + 1 = 0 \)
\( \Delta = 8^2 - 4 \cdot 12 \cdot 1 = 64 - 48 = 16 \)
\( \sqrt{\Delta} = 4 \)
Obliczamy pozostałe pierwiastki:
\( x_1 = \frac{-8 - 4}{24} = -\frac{12}{24} = -\frac{1}{2} \)
\( x_2 = \frac{-8 + 4}{24} = -\frac{4}{24} = -\frac{1}{6} \)
\( x_1 = \frac{-8 - 4}{24} = -\frac{12}{24} = -\frac{1}{2} \)
\( x_2 = \frac{-8 + 4}{24} = -\frac{4}{24} = -\frac{1}{6} \)
Odpowiedź
Rozwiązaniami równania są: \( x \in \{ -\frac{1}{2}, -\frac{1}{6}, \frac{1}{3} \} \).