RÓWNANIA WIELOMIANOWE - ZADANIA
Zadanie 15
Rozwiąż równanie: \( 2x^3 - x^2 + x - 6 = 0 \)
Rozwiązanie
Wypisujemy dzielniki wyrazu wolnego \( p \) oraz współczynnika \( q \):\( p \in \{ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \}, \quad q \in \{ 1, 2 \} \)
Kandydaci na pierwiastki wymierne \( \frac{p}{q} \):
\( \{ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2} \} \)
Sprawdzamy kandydata \( x = \frac{3}{2} \):
\( W(\frac{3}{2}) = 2 \cdot \frac{27}{8} - \frac{9}{4} + \frac{3}{2} - 6 \)
\( W(\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{9}{4} + \frac{6}{4} - \frac{24}{4} = \frac{27-9+6-24}{4} = 0 \)
Liczba \( \frac{3}{2} \) jest pierwiastkiem. Na mocy Twierdzenia Bézouta dzielimy wielomian przez \( (x - \frac{3}{2}) \).
\( W(\frac{3}{2}) = 2 \cdot \frac{27}{8} - \frac{9}{4} + \frac{3}{2} - 6 \)
\( W(\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{9}{4} + \frac{6}{4} - \frac{24}{4} = \frac{27-9+6-24}{4} = 0 \)
Liczba \( \frac{3}{2} \) jest pierwiastkiem. Na mocy Twierdzenia Bézouta dzielimy wielomian przez \( (x - \frac{3}{2}) \).
Wykonujemy dzielenie pisemne:
\[
\begin{array}{r|l}
2x^2 + 2x + 4\ & \\
\hline
(2x^3 - x^2 + x - 6) &: (x - \frac{3}{2}) \\
- 2x^3 + 3x^2\ & (+) \\
\hline
\quad \, 2x^2 + x - 6 & \\
- 2x^2 + 3x\ & (+) \\
\hline
\quad \, 4x - 6 & \\
- 4x + 6 & (+) \\
\hline
\quad \, 0 & \\
\end{array}
\]
Zapisujemy wielomian w postaci: \( (x - \frac{3}{2})(2x^2 + 2x + 4) = 0 \).
Badamy równanie kwadratowe \( 2x^2 + 2x + 4 = 0 \). Możemy je uprościć dzieląc przez 2:
\( x^2 + x + 2 = 0 \)
\( \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 \)
Ponieważ \( \Delta \lt 0 \), równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych.
\( x^2 + x + 2 = 0 \)
\( \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 \)
Ponieważ \( \Delta \lt 0 \), równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Odpowiedź
Jedynym rozwiązaniem równania jest liczba wymierna \( x = \frac{3}{2} \).