RÓWNANIA WIELOMIANOWE - ZADANIA

Zadanie 16

Rozwiąż równanie: \( x^4 + x^2 - 6 = 0 \).

Rozwiązanie

Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą \( t = x^2 \), przy założeniu \( t \ge 0 \):
\( t^2 + t - 6 = 0 \)

Obliczamy wyróżnik (deltę) dla równania ze zmienną \( t \):
\( \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 \)
\( \sqrt{\Delta} = 5 \)

Wyznaczamy wartości \( t_1 \) oraz \( t_2 \):
\( t_1 = \frac{-1 - 5}{2} = -3 \)
\( t_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \)

Analizujemy otrzymane wyniki zgodnie z założeniem \( t \ge 0 \):
Dla \( t_1 = -3 \): równanie \( x^2 = -3 \) jest sprzeczne (kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny).
Dla \( t_2 = 2 \): mamy \( x^2 = 2 \), co daje nam dwa rozwiązania:
\( x = \sqrt{2} \quad \lor \quad x = -\sqrt{2} \)

Odpowiedź

Rozwiązaniami równania są liczby: \( x \in \{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\} \).