POSTAĆ WYKŁADNICZA LICZBY ZESPOLONEJ

Postać wykładnicza liczby zespolonej jest kolejnym z możliwych sposobów jej zapisu.

Twierdzenie (Postać wykładnicza liczby zespolonej)

Każdą liczbę zespoloną \(z\) można zapisać w postaci wykładniczej: \[\large\displaystyle z=\left | z \right |e^{i\varphi}\] gdzie:
\( \left | z \right | \geqslant 0 \) - moduł liczby zespolonej \(z\)
\(\varphi\in \mathbb{R}\) - argument liczby zespolonej \(z\)

Postać wykładnicza liczby zespolonej opiera się na wzorze Eulera , który mówi, że: \( e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi\)
Jeżeli obie strony równania pomnożymy przez moduł liczby zespolonej otrzymamy: \(\left | z \right |e^{i\varphi}= \left | z \right| (\cos\varphi+i\sin\varphi) \)
Z tego wynika, że postać wykładnicza liczby zespolonej jest równoważna postaci trygonometrycznej

Działania na liczbach zespolonych w postaci wykładniczej

1. Potęgowanie: \(\displaystyle z^k=\left | z \right |^k e^{ik\varphi}\)

2. Iloczyn: \(\displaystyle {z_1}\cdot{z_2}={\left | z_1 \right |}\cdot{\left | z_2 \right |}e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}\)

3. Iloraz: \(\displaystyle \frac{z_1}{z_2}=\frac{\left | z_1 \right |}{\left | z_2 \right |}e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}\) \(z_2\neq0\)

4. Odwrotność: \(\displaystyle \frac1z=\frac{1}{\left | z \right |}e^{-i\varphi}\)

5. Modół: \(\displaystyle \overline {z}=\left | z \right |e^{-i\varphi}\)

6. Liczba przeciwna: \(\displaystyle -z=\left | z \right |e^{i(\varphi+\pi)}\)

POSTAĆ WYKŁADNICZA LICZBY ZESPOLONEJ - ZADANIA

Zadanie 1

Podaną liczbę zapisz w postaci wykładniczej: \(z=-2\)

Rozwiązanie

Zadanie 2

Podaną liczbę zespoloną zapisz w postaci wykładniczej \(z=-1+i\)

Rozwiązanie

Zadanie 3

Podaną liczbę zespoloną zapisz w postaci wykładniczej \(z=4i\)

Rozwiązanie