Mówimy, że zdarzenia \(B_1, B_2, \dots, B_n\) stanowią układ zupełny zdarzeń przestrzeni \(\Omega\), jeżeli spełniają trzy warunki:
1. Są parami rozłączne: \(B_i \cap B_j = \emptyset\) dla \(i \neq j\),
2. Ich suma daje cały zbiór \(\Omega\): \(B_1 \cup B_2 \cup \dots \cup B_n = \Omega\),
3. Mają dodatnie prawdopodobieństwo: \(P(B_i) > 0\).
Przykład o pizzy pokrojonej na kawałki:
• Kawałki nie nachodzą na siebie (warunek 1),
• Wszystkie kawałki razem tworzą całą pizzę (warunek 2),
• Każdy kawałek realnie istnieje, nie jest "zerowy" (warunek 3).
Twierdzenie (o prawdopodobieństwie całkowitym)
Jeżeli zdarzenia \(B_1, B_2, \dots, B_n\) tworzą układ zupełny zdarzeń (rozbicie przestrzeni \(\Omega\)),
to dla dowolnego zdarzenia \(A \subset \Omega\) zachodzi:
Wybieramy losowo punkt na powierzchni pizzy złożonej z dwóch kawałków. Kawałek \(B_1\) stanowi 60% pizzy, a kawałek \(B_2\) pozostałe 40%. Prawdopodobieństwo, że trafimy na salami na pierwszym kawałku wynosi 0,10, a na drugim 0,80. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowany punkt na całej pizzy zawiera salami.
Analiza i oznaczenia
Dzielimy problem na dwa możliwe scenariusze (układ zupełny):
\(B_1\) – punkt leży na kawałku pierwszym, \(P(B_1) = 0,60\)
\(B_2\) – punkt leży na kawałku drugim, \(P(B_2) = 0,40\)
\(A\) – trafiliśmy na salami.
Krok 1: Szanse warunkowe (gdzie jest salami?) - Szansa na salami w \(B_1\): \(P(A|B_1) = 0,10\) - Szansa na salami w \(B_2\): \(P(A|B_2) = 0,80\)
Otrzymany wynik \(P(A) = 0,38\) oznacza, że salami zajmuje dokładnie 38% powierzchni całej pizzy.
Zauważ, że mimo iż na drugim kawałku jest go bardzo dużo (80%), to ten kawałek jest mniejszy, więc jego wpływ na całość jest "ważony" przez jego rozmiar \(0,4\)
Interpretacja graficzna
Prawdopodobieństwo \(P(A)\) interpretujemy jako sumę części wspólnych zdarzenia \(A\) z poszczególnymi zdarzeniami układu zupełnego \(B_i\).
Graficznie odpowiada to sumowaniu pól obszarów \(A \cap B_1, A \cap B_2, \dots, A \cap B_n\).
Na drzewie stochastycznym prawdopodobieństwo całkowite to suma prawdopodobieństw wszystkich gałęzi (ścieżek) które kończą się sukcesem (zdarzeniem \(A\)).
PRAWDOPODOBIEŃSTWO CAŁKOWITE - ZADANIA
Zadanie 1
Mamy dwie urny z kulami. W pierwszej urnie (\(U_1\)) znajdują się 3 kule białe i 7 czarnych, a w drugiej urnie (\(U_2\)) znajduje się 6 kul białych i 4 czarne. Rzucamy symetryczną monetą. Jeśli wypadnie orzeł, losujemy kulę z pierwszej urny, jeśli wypadnie reszka – z drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej.
W sekcji strzeleckiej jest dwóch mistrzów, którzy trafiają do celu z prawdopodobieństwem 0,9 oraz ośmiu uczniów, którzy trafiają z prawdopodobieństwem 0,6. Losowo wybrany strzelec oddał jeden strzał. Jakie jest prawdopodobieństwo, że strzał był celny?
Hurtownia otrzymuje żarówki z trzech fabryka: \(F_1\) dostarcza 25%, \(F_2\) dostarcza 35%, a \(F_3\) pozostałą część. Procent braków wynosi odpowiednio: 2%, 3% oraz 4%. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana żarówka w hurtowni jest sprawna.
