Definicja (Wariacje bez powtórzeń)
Wariacją bez powtórzeń ze zbioru \(n\) - elementowego nazywamy każdy \(k\) - wyrazowy ciąg utworzony z różnych elementów tego zbioru.
WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ
Twierdzenie (Liczba wariacji bez powtórzeń)
Liczba wszystkich różnych \(k\) - elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru \(n\)- elementowego jest równa:
\[\displaystyle \large V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}\] gdzie \(n,k\in \mathbb{N}^+\) , \(k \leqslant n \)\(k\) - długość ciągu , ilość elementów w ciągu
\(n\) - wielkość zbioru wyjściowego
Ponadto zachodzi wzór:
\[\displaystyle {\frac {n!}{(n-k)!}}=n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)\]
Przykład 1
Niech dany będzie zbiór: \(A=\{a,b,c\}\)
Utwórzmy wszystkie jednoelementowe ciągi, którego elementy należą do zbioru \(A\)
Nasz zbiór jest trzyelementowy, czyli: \(n=3\)
Ciąg który mamy utworzyć ma być jedno elementowy, czyli : \(k=1\)
Ilość ciągów jakie możemy utworzyć obliczamy ze wzoru na wariację bez powtórzeń \(\displaystyle V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}\)
Obliczmy: \(\displaystyle V_3^1=\frac{3!}{(3-1)!}=\frac{3!}{2!}=\frac{1\cdot2\cdot3}{1\cdot2}=3\)
Otrzymaliśmy trzy ciągi: \[(a)\ (b)\ (c)\]
Przykład 2
Niech dany będzie zbiór: \(A=\{a,b,c\}\)
Utwórzmy wszystkie dwuelementowe ciągi różnowartościowe, którego elementy należą do zbioru \(A\)
Nasz zbiór jest trzyelementowy, czyli: \(n=3\)
Ciąg który mamy utworzyć ma być dwu elementowy, czyli: \(k=2\)
Ilość ciągów jakie możemy utworzyć obliczamy ze wzoru \(\displaystyle V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}\)
Obliczmy: \(\displaystyle V_3^2=\frac{3!}{(3-2)!}=\frac{3!}{1!}=\frac{1\cdot2\cdot3}{1}=6\)
Otrzymaliśmy sześć ciągów: \[(a,b)\ (b,a)\ (a,c)\ (c,a)\ (b,c)\ (c,b)\]
Przykład 3
Niech dany będzie zbiór: \(A=\{a,b,c,d\}\)
Utwórzmy wszystkie dwuelementowe ciągi różnowartościowe, którego elementy należą do zbioru \(A\)
Nasz zbiór jest czteroelementowy, czyli: \(n=4\)
Ciąg który mamy utworzyć ma być dwu elementowy, czyli: \(k=2\)
Obliczmy: \(\displaystyle V_4^2=\frac{4!}{(4-2)!}=\frac{4!}{2!}=\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4}{1\cdot2}=12\)
Otrzymaliśmy dwanaście ciągów: \[(a,b)\ (b,a)\ (a,c)\ (c,a)\ (a,d)\ (d,a)\] \[(b,c)\ (c,b)\ (b,d)\ (d,b)\ (c,d)\ (d,c)\]
Przykład 4
Niech dany będzie zbiór: \(A=\{a,b,c,d\}\)
Utwórzmy wszystkie trzyelementowe ciągi różnowartościowe, którego elementy należą do zbioru \(A\)
Mamy \(n=4\) i \(k=3\) zatem: \( \displaystyle V_4^3=\frac{4!}{(4-3)!}=\frac{4!}{1!}=\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4}{1}=24\)
Otrzymaliśmy dwadzieścia cztery ciągi: \[(a,b,c)\ (a,c,b)\ (a,b,d)\ (a,d,b)\ (a,c,d)\ (a,d,c)\] \[(b,a,c)\ (b,c,a)\ (b,a,d)\ (b,d,a)\ (b,c,d)\ (b,d,c)\] \[(c,a,b)\ (c,b,a)\ (c,a,d)\ (c,d,a)\ (c,b,d)\ (c,d,b)\] \[(d,a,b)\ (d,b,a)\ (d,a,c)\ (d,c,a)\ (d,b,c)\ (d,c,b)\]
Cechy wariacje bez powtórzeń
- liczba \(k\) elementów jest wybierana spośród \(n\) elementów, gdzie \(k \leqslant n\).
- elementy k w ciągach nie mogą się powtarzać.
- istotna jest kolejność występowania elementów.
- jeżeli \(k=n\) wówczas wariacja bez powtórzeń staje się permutacją.
WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ - ZADANIA
Zadanie 1
Na parterze cztery osoby wsiadają do windy 10-cio piętrowego bloku.
Na ile sposobów mogą oni wysiąść z windy jeżeli każdy wysiada na innym piętrze? Zadanie 2
W rzędzie ustawiono 6 krzeseł. Na ile różnych sposobów można rozmieścić na tych krzesłach 3 osoby?Zadanie 3
Ile jest liczb 5-cio cyfrowych w których cyfry się nie powtarzają i są utworzone z liczb \(1,2,3,4,5,6,7,8,9\) Zadanie 4
Ile jest liczb 5-cio cyfrowych w których cyfry się nie powtarzają i są utworzone z cyfr \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\) Zadanie 5
Ile jest liczb 5-cyfrowych, w których cyfry się nie powtarzają i są utworzone z liczb: \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\),
ponadto trzy pierwsze cyfry są nieparzyste, a ostatnie dwie cyfry są parzyste.
→ dalej Wariacje z powtórzeniami →
← wstecz: Permutacje z powtórzeniami ←