FUNKTORY ZDANIOTWÓRCZE

Omawiane funktory: negacja, koniunkcja, alternatywa, implikacja i równoważność nie wyczerpują listy wszystkich możliwych funktorów zdaniotwórczych.

Łatwo stwierdzić, że istnieją 4 różne funktory jednoargumentowe i 16 różnych funktorów dwuargumentowych. Funktory te zostały przedstawione w poniższych tabelach.

Cztery funktory jednoargumentowe

\(A_1\) to spójnik falsum (spójnik odrzucania, przyjmujący zawsze wartość fałszywą).

\(A_2\) to spójnik asercji (spójnik tożsamości, który zawsze daje tę samą wartość co argument).

\(A_3\) to spójnik negacji (spójnik zaprzeczenia, który zawsze daje przeciwną wartość do argumentu).

\(A_4\) to spójnik verum (spójnik afirmacji, który zawsze daje wartość prawdziwą).

Szesnaście funktorów dwuargumentowych

\(B_2\) to spójnik koniunkcji.

\(B_8\) to spójnik alternatywy.

\(B_{10}\) to spójnik równoważności.

\(B_{14}\) to spójnik implikacji.

Spójniki rzadziej spotykane:

\(B_7\) to spójnik alternatywy wykluczającej .

\(B_{15}\) to spójnik dysjunkcji (funktor Sheffera NAND, ang. Not AND, czyli negacja koniunkcji) odkryty w 1913 roku przez amerykańskiego logika Henry Sheffera
Funktor ten sam wystarcza do zdefiniowania wszystkich innych funktorów jedno i dwu argumentowych.
Funktor ten jest fałszywe tylko wtedy, gdy oba zdania składowe są prawdziwe. W pozostałych trzech przypadkach jest prawdziwe

\(p\)	\(q\)	\(p|q\)
\(0\)	\(0\)	\(1\)
\(0\)	\(1\)	\(1\)
\(1\)	\(0\)	\(1\)
\(1\)	\(1\)	\(0\)

Funktor ten, oznaczany symbolem | lub ↑
Logicznie możemy to zapisać jako: \[p|q\Leftrightarrow \neg (p\wedge q)\] Oto jak zdefiniować podstawowe spójniki używając tylko symbolu |
Negacja \(\neg p\) : \(p \mid p\)
Koniunkcja \(p \land q\) : \((p \mid q) \mid (p \mid q)\)
Alternatywa \( p \vee q \) : \((p \mid p) \mid (q \mid q)\)
Implikacja \(p\Rightarrow q\) : \(p|(q|q)\Leftrightarrow p|(p|q)\)

\(B_9\) to spójnik jednoczesnego zaprzeczenia według terminologii Jana Łukasiewicza (polski logik, matematyk i filozof 1878–1956) zwany też spójnikiem binegacji lub funktorem Peirce'a NOR, ang. Not OR, czyli negacja alternatywy.
Funktor ten ma tę samą własność co funktor \(B_{15}\) (dysjunkcja) – sam wystarcza do zdefiniowania wszystkich innych funktorów jedno i dwuargumentowych.
Funktor ten jest prawdziwy tylko wtedy, gdy oba zdania składowe są fałszywe. W pozostałych trzech przypadkach jest fałszywy.

\(p\)	\(q\)	\(p\downarrow q\)
\(0\)	\(0\)	\(1\)
\(0\)	\(1\)	\(0\)
\(1\)	\(0\)	\(0\)
\(1\)	\(1\)	\(0\)

Funktor ten, oznaczany symbolem \(\downarrow\) lub \(\bot\) (często nazywany sztyletem Peirce'a lub strzałką w dół)
Logicznie możemy to zapisać jako: \[p\downarrow q\Leftrightarrow \neg (p\vee q)\] Oto jak zdefiniować podstawowe spójniki używając tylko symbolu \(\downarrow\)
Negacja \(\neg p\) : \(p \downarrow p\)
Koniunkcja \(p \land q\) : \((p \downarrow p) \downarrow (q \downarrow q)\)
Alternatywa \(p \vee q\) : \((p \downarrow q) \downarrow (p \downarrow q)\)
Implikacja \(p\Rightarrow q\) : \(((p \downarrow p) \downarrow q) \downarrow ((p \downarrow p) \downarrow q)\)

\(B_4\) oraz \(B_6\) to funktory rzutowe (tzw. projekcje: lewostronna i prawostronna).
Funktory te charakteryzują się tym, że całkowicie ignorują jeden ze swoich argumentów i powielają wartość drugiego.

• \(B_4\) zwraca zawsze wartość zdania \(p\) (ignoruje \(q\)): \[p \leftarrow q \Leftrightarrow p\]
• \(B_6\) zwraca zawsze wartość zdania \(q\) (ignoruje \(p\)): \[p \rightarrow q \Leftrightarrow q\]

Zastosowanie: Choć w logice językowej wydają się zbędne, w elektronice cyfrowej i architekturze komputerów reprezentują one tzw. bufory sygnałowe. Służą do fizycznego przekazywania niezmienionego sygnału (bitu) przez magistrale procesora bez wykonywania na nim operacji matematycznych.

\(B_3\) to spójnik zakazu (inaczej antyimplikacja lub ekskluzja, ang. NIMPLY – Not Imply).
Funktor ten jest zaprzeczeniem klasycznej implikacji. Przyjmuje wartość prawdziwą tylko w jednym przypadku: gdy pierwsze zdanie (\(p\)) jest prawdziwe, a drugie (\(q\)) jest fałszywe.

\(p\)	\(q\)	\(p \not\Rightarrow q\)
\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(0\)	\(1\)	\(0\)
\(1\)	\(0\)	\(1\)
\(1\)	\(1\)	\(0\)

Logicznie możemy to zapisać jako koniunkcję twierdzenia z negacją drugiego: \[p \not\Rightarrow q \Leftrightarrow p \wedge \neg q\] Zastosowanie: W inżynierii oprogramowania i systemach bezpieczeństwa funktor ten kontroluje reguły dostępu (tzw. warunki blokujące). Wyraża relację: „wykonaj działanie \(p\), o ile nie aktywowano blokady \(q\)”. W matematyce i teorii mnogości jest bezpośrednim odpowiednikiem działania różnicy zbiorów (\(P \setminus Q\)).