PIERWIASTKI
Oznaczenia
\[\huge \sqrt[n]a=b\]
\(\large \sqrt [n]a \) pierwiastek n-tego stopnia z a
\(\large n \) stopień pierwiastka
\(\large a \) liczba podpierwiastkowa
\(\large b \) wynik pierwiastkowania
Przykłady :
\(\sqrt[3]{8}\) - pierwiastek trzeciego stopnia z ośmiu
\(\sqrt[4]{81}\) - pierwiastek czwartego stopnia z osiemdziesięciu jeden
\(\sqrt[5]{32}\) - pierwiastek piątego stopnia z trzydziestu dwóch
Uwaga :
Pierwiastek drugiego stopnia nazywamy również pierwiastkiem kwadratowym i
oznaczamy go symbolem \(\sqrt{a}\) zamiast \(\sqrt[2]{a}\)
Definicja (Pierwiastek arytmetyczny)
Jeżeli \(a\geqslant0\;\;i\;\;b\geqslant0\) , oraz \(n\) jest liczbą naturalną większą od jeden, to :
\(\LARGE\sqrt[n]a=b\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\LARGE b^n=a\)
Liczby naturalne większe od jeden są to liczby : 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
Warunek \(b\geqslant0\) w powyższej definicji zapewnia jednoznaczność pierwiastka.
Dzięki temu warunkowi jest \(\sqrt4=2\) a nie ( \(\sqrt4=2\) lub \(\sqrt4=-2\) )
Przykłady :
\(\sqrt9=3\;\;\;ponieważ\;\;3^2=3\cdot3=9\)
\(\sqrt[3]{64}=3\;\;\;ponieważ\;\;\;4^3=4\cdot4\cdot4=64\)
\(\sqrt[4]{16}=2\;\;\;ponieważ\;\;\;2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2=16\)
Uwaga :
Powyższa definicja jest taka sama jak definicji potęgi o wykładniku wymiernym \(\large\frac1n\), czyli
pierwiastek arytmetyczny jest to potęga o wykładniku wymiernym \(\large\frac1n\), co możemy zapisać :
| \(\LARGE \sqrt[n]a= a^\frac1n\) |
PIERWIASTKI - ZADANIA
Zadanie 1
Oblicz pierwiastki kwadratowe : \(\sqrt4\;,\;\sqrt{9}\;,\;\sqrt{16}\;,\;\sqrt{25}\;,\;\sqrt{36}\) , \(\sqrt{49}\;,\;\sqrt{64}\;,\sqrt{81}\;,\sqrt{100}\,,\,\sqrt1,\sqrt0\)
Rozwiązanie
Zadanie 2
Oblicz pierwiastki trzeciego stopnia : \(\sqrt[3]8\;,\;\sqrt[3]{27}\;,\;\sqrt[3]{64}\;,\;\sqrt[3]{125}\;,\;\sqrt[3]1\;,\;\sqrt[3]0\)
Rozwiązanie
Zadanie 3
Oblicz pierwiastki : \(\sqrt[4]{81}\;,\;\sqrt[5]{32}\;,\;\sqrt[6]{64}\;,\;\sqrt[5]1\;,\;\sqrt[4]0\)
Rozwiązanie
Zadanie 4
Oblicz pierwiastki kwadratowe z ułamków : \(\large \sqrt{\frac14}\;,\;\sqrt{\frac9{16}}\;,\;\sqrt{\frac{25}{49}}
\;,\;\sqrt{\frac{49}{100}}\;,\;\sqrt[3]{\frac8{125}}\;,\;\sqrt[3]{\frac{27}{64}}\)
Rozwiązanie
Zadanie 5
Oblicz pierwiastki kwadratowe z ułamków dziesiętnych: \(\sqrt{0,36}\;,\;\sqrt{0,04}\;,\;\sqrt{0,64}\;,\;\sqrt{1,21}\;,\;\sqrt{0,0049}\;,\;\sqrt{0,0169}\)
Rozwiązanie
