PIERWIASTKI Z LICZB UJEMNYCH
Poniżej podana jest definicja rozszerzająca definicję pierwiastka
arytmetycznego na liczby ujemne o potęgach nieparzystych.
Definicja (Pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej)
Jeżeli a jest liczbą ujemną i n liczbą naturalną nieparzystą wówczas
\(\large \sqrt[n]a=-\sqrt[n]{\left|a\right|}\)
Symbol \(\left|a\right|\) oznacza wartość bezwzględną z liczby \(a\)
Tutaj więcej o wartość bezwgędnej
Wartość bezwzględna z liczby dodatniej jest to ta sama liczba dodatnia
Przykład :
\(\left|5\right|=5\)
\(\left|16\right|=16\)
Wartość bezwzględna z liczby ujemnej jest to liczba do niej przeciwna
Przykład :
\(\left|-7\right|=7\) poniweważ liczbą przeciwną do \(-7\) jest liczba \(7\)
\(\left|-12\right|=12\) poniweważ liczbą przeciwną do \(-12\) jest liczba \(12\)
Przykłady obliczania pierwiastków:
\(\sqrt[3]{-8}=-\sqrt[3]{\left|-8\right|}=-\sqrt[3]8=-2\)
\(\sqrt[3]{-125}=-\sqrt[3]{\left|-125\right|}=-\sqrt[3]{125}=-5\)
Pierwiastek z liczb nieujemnych można obliczać w podobny sposób jak się oblicz pierwiastek arytmetyczny.
Przykład :
\(\sqrt[3]{-8}=-2\;\;\;ponieważ\;\;\;\)\(\left(-2\right)^3=\left(-2\right)\cdot\left(-2\right)\cdot\left(-2\right)=-8\)
\(\sqrt[3]{-125}=-5\;\;\;ponieważ\;\;\;\)
\(\left(-5\right)^3=\left(-5\right)\cdot\left(-5\right)\cdot\left(-5\right)=-125\)
nie posługujemy się tu pojęciem wartości bezwzględnej.
Uwaga:
Pierwiastki parzystego stopnia z liczb ujemnych np. \(\sqrt{-4}\) lub \(\sqrt[4]{-1}\)
nie mają rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych, mają natomiast rozwiązanie w zbiorze liczb zespolonych.
Tutaj więcej o pierwiastkach z liczb zespolonych
Czasami się zdarza, że daną liczbę musimy podnieść do potęgi n-tej i zarazem obliczyć pierwiastek
n-tego stopnia z tej liczby w takich sytuacjach korzystamy ze wzoru z poniższego twierdzenia.
Twierdzenie
Jeżeli \(\boldsymbol a\) jest dowolną liczbą, oraz \(n\) jest liczbą naturalną większą od jeden to :
\[\large \sqrt[n]{a^n}=\left\{\begin{array}{l}\left|a\right|\;\;\;\;\normalsize gdy\;\;n-parzyste\\a\;\;\;\;\;\;\;\normalsize gdy\;\;n-nieparzyste\end{array}\right.\]
Liczby naturalne większe od jeden są to liczby : 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
PIERWIASTKI Z LICZB UJEMNYCH - ZADANIA
Zadanie 1
Oblicz pierwiastki z liczb ujemnych : \(a)\; \sqrt[3]{-8}\)
\(b)\; \sqrt[3]{-27}\) \(c)\; \sqrt[3]{-64}\) \(d)\; \sqrt[3]{-125}\)
\(e)\; \sqrt[5]{-1}\) \(f)\; \sqrt[5]{-32}\)
Rozwiązanie
Zadanie 2
Oblicz \(\displaystyle\frac{\sqrt[3]{128}}{\sqrt[3]{-2}}\)
Rozwiązanie
Zadanie 3
Oblicz \(\sqrt[3]{-25}\cdot\sqrt[3]5\)
Rozwiązanie
Zadanie 4
Oblicz \(-\sqrt[3]{81}-\sqrt[3]{-3}\)
Rozwiązanie
Zadanie 5
Korzystając ze wzoru: .\(\sqrt[n]{a^n}=\left\{\begin{array}{l}\left|a\right|\;\;\;\;gdy\;\;n-parzyste
\\a\;\;\;\;\;\;\;gdy\;\;n-nieparzyste\end{array}\right.\) oblicz: \(a)\,\,\sqrt{4^2}\) \(b)\,\,\sqrt{\left(-4\right)^2}\)
Rozwiązanie
Zadanie 6
Korzystając ze wzoru: .\(\sqrt[n]{a^n}=\left\{\begin{array}{l}\left|a\right|\;\;\;\;gdy\;\;n-parzyste
\\a\;\;\;\;\;\;\;gdy\;\;n-nieparzyste\end{array}\right.\) oblicz: \(a)\,\,\sqrt[3]{4^3}\) \(b)\,\,\sqrt[3]{\left(-4\right)^3}\)
Rozwiązanie
