Jeżeli \(a\geqslant0\;\;i\;\;b\geqslant0\) oraz \(n\) jest liczbą naturalną większą od jeden to :
\(\LARGE a^\frac1n=b\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\LARGE b^n=a\)
Liczby naturalne większe od jeden są to liczby : 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
Powyższa definicja jest identyczna jak definicji pierwiastka arytmetycznego, czyli potęga o wykładnik \(\frac1n\) jest to pierwiastek arytmetyczny, co możemy zapisać :
| \(\LARGE a^\frac1n=\sqrt[n]a\) |
|---|
\( 4^\frac12=2\;\;bo\;\;2^2=4\) lub można to zapisać \( 4^\frac12=\sqrt4=2\)
\( 81^\frac14=3\;\;bo\;\;3^4=81\) lub można to zapisać \( 81^\frac14=\sqrt[4]{81}=3\)
Jeżeli \(a>0\;\;,\;\;n\in\mathbb{N}\backslash\{0,1\}\;\;,\;\;m\in\mathbb{Z}\) , to
\[\LARGE a^\frac mn=\left(a^\frac1n\right)^m\]\(\mathbb{N}\backslash\left\{0,1\right\}=\{2,\;3,\;4,\;5,\;6,\;7,\dots\}\) - jest to zbiór liczb naturalnych większych o jeden.
\(\mathbb{Z}=\{\dots {-3},-2,-1,\;0,\;1,\;2,\,3\dots\}\) - jest to zbiór liczb całkowitych.
Jeśli skorzystamy z definicji potęgi o wykładniku naturalnym, całkowitym ujemnym i z faktu \(a^\frac1n=\sqrt[n]a\) możemy zapisać :
| \(\LARGE a^\frac mn=\left(\sqrt[n]a\right)^m=\sqrt[n]{a^m}\) |
|---|
| \(\LARGE a^{-\frac mn}=\frac1{\left(\sqrt[n]a\right)^m}=\frac1{\sqrt[n]{a^m}}\) |
|---|
\(8^{\frac{2}{3}}=\left ( 8^\frac{1}{3} \right )^2 =2^2 =4\) lub można to zapisać \(8^{\frac{2}{3}}= \left ( \sqrt[3]{8} \right )^2 =2^2 =4\)
\(8^{-\frac{2}{3}}= \left ( 8^\frac{1}{3} \right )^{-2} =2^{-2} =\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}\) lub można to zapisać \(8^{-\frac{2}{3}}= \left ( \sqrt[3]{8} \right )^{-2} =2^{-2} =\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}\)
← wstecz Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym ←