RÓWNANIA LINIOWE - WPROWADZENIE

Definicja (Równanie)

Równaniem nazywamy funkcję zdaniową składającą się z dwóch wyrażeń algebraicznych połączonych znakiem równości, przy czym przynajmniej w jednym z tych wyrażeń występuje co najmniej jedna zmienna, zwana niewiadomą.

Przykład

\[x^2y+2x-4=1\]

Jeżeli w równaniu występuje dokładnie jedna niewiadoma to równanie nazywamy równaniem z jedną niewiadomą.

Przykład

\[x^2+2x-4=1\]

Jeżeli w równaniu występuje dokładnie jedna niewiadoma w pierwszej potędze to równanie nazywamy równaniem pierwszego stopnia z jedną niewiadomą lub równaniem liniowym z jedną niewiadomą. (takimi równaniami będziemy się tu zajmować)

Przykład

\[x+2x-4=1\]

Definicja (Rozwiązaniem równania)

Rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania nazywamy każdą liczbę, która spełnia to równanie, tzn. taką liczbę, która wstawiona w miejsce niewiadomej \(x\) zmienia równanie w zdanie prawdziwe.

Rozwiązując równanie np. \[7x-3x=2(x+3)\] wszyscy napiszą \[4x=2x+6\] Czy te równania są takie same? Odpowiedz brzmi NIE.
Jeżeli nie, to dlaczego zajmujemy się tym drugim? Zapewne powiemy: ponieważ jest prostszej postaci.
Ale musi być jakiś związek (zależność) miedzy tymi równaniami, która pozwala nam się zająć tym drugim równaniem, tą zależnością jest wspólny zbiór rozwiązań.

Definicja (Równania równoważne)

Równania, które maja dokładnie te same zbiory rozwiązań nazywamy równaniami równoważnymi

Poniżej są podane twierdzenia o działaniach, które można wykonać na równaniach tak aby równania pozostawały równoważne.

Twierdzenie 1

Jeżeli po obu stronach równania wykonamy wskazane działania (mnożenie, dzielenie, dodawanie lub odejmowanie) to otrzymamy równanie równoważne danemu.

Twierdzenie 2

Jeżeli do obu stronach równania dodamy lub odejmiemy tę samą liczbę lub wyrażenie algebraiczne, to otrzymamy równanie równoważne danemu.

Twierdzenie 3

Jeżeli obie strony równania pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę lub wyrażenie algebraiczne o wartościach różnych od zera, to otrzymamy równanie równoważne danemu.

Rozwiązując równanie ogólnie przekształcamy je stosując powyższe twierdzenia w ten sposób aby po jednej stronie równania była sama niewiadoma \(x\) a po drugiej stronie tylko liczba.

Przykład

\(7x-3x=2(x+3)\) Stosujemy Twierdzenie 1
\(4x=2x+6\)
\(4x=2x+6\,\,\,/-2x\) Teraz Twierdzenie 2
\(4x-2x=2x+6-2x\) Ponownie Twierdzenie 1
\(2x=6\)
\(2x=6\,\,\,/:2\) Twierdzenie 3
\(x=3\) To nie jest rozwiązane, to dalej jest równanie czyli: funkcja zdaniowa .

Uwaga

Okazało się, że równania:
\(7x-3x=2(x+3)\)
\(x=3\)
mają różną postać, ale mają dokładnie te same rozwiązania bo są równoważne na podstawie powyższych twierdzeń.
Rozwiązaniem tych równań jest oczywiście liczba 3 co bezpośrednio odczytujemy z ostatniego równania.