RÓWNANIA LINIOWE OZNACZONE, TOŻSAMOŚCIOWE, SPRZECZNE
Definicja (Równanie liniowe z jedną niewiadomą)
Równaniem liniowym z jedną niewiadomą \(x\) nazywamy równanie postaci :
\[\large ax+b=0\]
gdzie \(a,b \in \mathbb{R}\)
Uwaga: Równania liniowe z jedną niewiadomą mogą mieć różnorodną postać np:
\(3x-(10+x)=8(2x+3)\)
\(0=4(10-5x)-3(-3x-5)\)
\(\displaystyle x-2-\frac{4x-14}7=3x-47\)
\(\displaystyle \frac{7x-5}6=\frac{3-5x}5\)
ale dowolne równanie liniowe po przekształceniach da się zapisać w postaci \(ax+b=0\)
Równanie liniowe ze względu na liczbę rozwiązań możemy podzielić na:
a) Równanie oznaczone to równanie, które ma
dokładnie jedno rozwiązanie
| założenia i warunki |
postać równania |
rozwiązanie |
| \(a\neq0\) |
\(ax+b=0\) |
\(\displaystyle x=-\frac{b}a\) |
Przykłady
\(3x+5=0\)
\(-x-8=0\)
\(4x=0\)
b) Równanie tożsamościowe (nieoznaczone) to takie równanie, które
ma nieskoczenie wiele równań
| założenia i warunki |
postać równania |
rozwiązanie |
| \(a=0\) i \(b=0\) |
\(0\cdot x+0=0\) |
każda liczba rzeczywista |
Przykłady
\(3x=3x\)
\(x-5=x-5\)
\(0=0\)
c) Równanie sprzeczne to takie równanie, które
nie ma rozwiązań
| założenia i warunki |
postać równania |
rozwiązanie |
| \(a=0\) i \(b\neq0\) |
\(0\cdot x+b=0\) |
brak |
Przykłady
\(x=x+5\)
\(2x-2=2x+2\)
\(5=2\)
Należy zwrócić uwagę, że pierwiastek równania liniowego (rozwiązanie równania liniowego) \(ax+b=0\) jest
miejscem zerowym funkcji liniowej
\(f(x)=ax+b\) i ma taką samą interpretacje geometryczną.
RÓWNANIA LINIOWE OZNACZONE, TOŻSAMOŚCIOWE, SPRZECZNE - ZADANIA
Zadanie 1
Równanie liniowe \(11(x+1)=4(x-2)+5\) przekształć do postaci \(ax+b=0\) i podaj ile
wynoszą współczynniki \(a\) i \(b\)
Rozwiązanie
Zadanie 2
Równanie liniowe \(\displaystyle x-1- \frac {4x-14}{7}=-3x+11\) przekształć do postaci \(ax+b=0\)
i podaj ile wynoszą współczynniki \(a\) i \(b\)
Rozwiązanie
Zadanie 3
Rozwiąż równanie \(5x+2(7-x)=8x+29\) i określ czy równanie jest: oznaczone, tożsamościowe czy sprzeczne.
Rozwiązanie
Zadanie 4
Rozwiąż równanie \(\displaystyle \frac {x+2}{3}-\frac 14x=\frac{1}{12}x+\frac 23\)
i określ czy równanie jest: oznaczone, tożsamościowe czy sprzeczne.
Rozwiązanie
Zadanie 5
Rozwiąż równanie \(6x+1=4x+2(x-1)\) i określ czy równanie jest: oznaczone, tożsamościowe czy sprzeczne.
Rozwiązanie
Zadanie 6
Rozwiąż równanie \(8(3-2x)+5(3x+1)=8(1-x)\)
Rozwiązanie
Zadanie 7
Rozwiąż równanie \(x(x-1)-4=(x-2)(x+2)-x\)
Rozwiązanie
Zadanie 8
Rozwiąż równanie \(x+2(x-3)=3x+2\)
Rozwiązanie
