NIERÓWNOŚCI LINIOWE

Różnica między równaniem liniowym a nierównością liniową

W równaniach liniowych występuje znak równości \((=)\) natomiast w nierównościach liniowych występuje jeden ze znaków nierówność \((< \,,\,\leq\,,\,>\,,\, \geq)\)

równanie liniowe	nierówność liniowa
\(3x-1=6x+5\)	\(3x-1>6x+5\)

Rozwiązując nierówność \[7x-3x>2(x+3)\] wszyscy napiszą \[4x>2x+6\] Czy te nierówności są takie same? Odpowiedz brzmi NIE.
To dlaczego zajmujemy się tą druga nierównością? Powiemy: ponieważ jest prostszej postaci.
Zatem musi być jakiś związek (zależność) miedzy tymi nierównościami, która pozwala nam się zająć tą drugą nierównością, tą zależnością jest wspólny zbiór rozwiązań.
(Identyczne rozważaliśmy rozwiązywanie równań liniowych)

Definicja (Nierówności równoważne)

Nierówności, które maja dokładnie te same zbiory rozwiązań nazywamy nierównościami równoważnymi

Nierówność liniową rozwiązujemy tak samo jak równania liniowe czyli : przekształcając je do coraz prostszej postaci aż dojdziemy, że po jednej stronie nierówności będzie sama niewiadoma x a po drugiej stronie tylko liczba.

równanie liniowe	nierówność liniowa
\(3x-1=6x+5\)	\(3x-1< 6x+5\)
\(3x-6x=5+1\)	\(3x-6x< 5+1\)
\(-3x=6\,\,\,/:(-3)\)	\(-3x< 6\,\,\,/:(-3)\)
\(x=-2\)	\(x>-2\)

rozwiązaniem jest jedna liczba	rozwiązaniem jest przedział liczbowy

Przy przekształceniach nierówności korzystamy z poniższych twierdzeń, które zapewniają równoważność nierówności.

Twierdzenie 1

Jeżeli po obu stronach nierówności wykonamy wskazane działania ( mnożenie, dzielenie, dodawanie lub odejmowanie ) to otrzymamy nierówność równoważną danemu.

Twierdzenie 2

Jeżeli do obu stronach nierówność dodamy lub odejmiemy tę samą liczbę lub wyrażenie algebraiczne, to otrzymamy nierówność równoważną danemu.

Twierdzenie 3a

Jeżeli obie strony nierówności pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę dodatnią lub wyrażenie algebraiczne przyjmujące tylko wartości dodatnie, to otrzymamy nierówność równoważną danemu.

Twierdzenie 3b

Jeżeli obie strony nierówności pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę ujemną lub wyrażenie algebraiczne przyjmujące tylko wartości ujemne i zmienimy zwrot nierówności , to otrzymamy nierówność równoważną danemu.

Nierówności liniowej możemy podzielić ze względu na rozwiązanie na trzy przypadki:

1) Oznaczone to takie, które posiada określony zbiór rozwiązań

Przykład

\(2x>6\)
\(2x>6\,\,\,/:2\) dzielimy obustronnie równanie przez 2
\(x>3\)

Nierówność jest spełniona tylko dla pewnych liczb dla innych zaś nie jest spełniona. W naszym przykładzie nierówność jest spełniona dla: \(x>3\) nie jest zaś spełniona dla: \(x\leq 3\)

2) Tożsamościowe lub bezwarunkowe to takie, które jest spełnione dla każdej liczby.

Przykład

\(x+2>x+1\)
\(x+2>x+1\,\,\,/-x\) po obu stronach nierówności odejmujemy x
\(2>1\)

Otrzymaliśmy nierówność prawdziwą. Jeżeli w górnej nierówności za x podstawimy dowolną liczbę zawsze otrzymamy nierówność prawdziwą. Mówimy, że nierówność taka jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą

3) Sprzeczne to takie, które nie posiada rozwiązania.

Przykład

\(x+1>x+2\)
\(x+1>x+2\,\,\,/-x\) po obu stronach nierówności odejmujemy x
\(1>2\)

Otrzymaliśmy nierówność sprzeczną. Jeżeli w górnej nierówności za x podstawimy dowolną liczbę zawsze otrzymamy sprzeczność. Mówimy, że nierówność taka nie jest spełniona dla żadnej liczby.

NIERÓWNOŚCI LINIOWE - ZADANIA

Zadanie 1

Rozwiąż nierówność : \(4x-4< x+5\)

Rozwiązanie

Zadanie 2

Rozwiąż nierówność \(7x+6\leq5(2x-3)\)

Rozwiązanie

Zadanie 3

Rozwiąż nierówność \(\displaystyle 3x+1-\frac{2x+3}{4}> 4x-2\)

Rozwiązanie

Zadanie 4

Rozwiąż nierówność \(\displaystyle \frac{4y-3}{6}+3\leq \frac{3y}{2}+\frac{5}{4}\)

Rozwiązanie

Zadanie 5

Rozwiąż nierówność \(\displaystyle \frac{x+1}{3}-\frac{2x+1}{5}> 1-\frac{x}{15}\) (nierówność sprzeczna)

Rozwiązanie

Zadanie 6

Rozwiąż nierówność \(\displaystyle x-\frac{2x-5}{3}>\frac{x}{3}+1\) (nierówność tożsamościowa)

Rozwiązanie

← wstecz Równania liniowe - definicja. Równania oznaczone, tożsamościowe, sprzeczne ←