OBLICZANIE LOGARYTMÓW

Oznaczenia :

\[\LARGE {\log_ab=c}\]

\(\large \log_ab \) czytamy: logarytm z liczby \(b\) przy podstawie \(a\)

\(\large a \) podstawa logarytmu

\(\large b \) liczba logarytmowana

\(\large c \) wynik logarytmu

Definicja (Definicja logarytmu)

Logarytmem liczby \(b\) przy podstawie \(a\) nazywamy taką liczbę \(c\), że \(a\) podniesione do potęgi \(c\) daje liczbę \(b\)

Zapis symboliczny:

\[\LARGE log_ab=c \Leftrightarrow a^c=b \] gdzie:
symbol \(\Leftrightarrow\) czytamy: "wtedy i tylko wtedy, gdy"
\(b>0\) - jest liczbą dodatnią
\(a>0\,,\,\,a\neq 1\) - jest liczbą dodatnią i różną od jeden

Logarytm dziesiętny, to logarytm o podstawie \(10\) zapisujemy go w postaci: \(\log b\) bez indeksu podstawy, czyli: \(\log b\) jest to samo co \(\log_{10} x\)

\[\large \log b=c \,\, \Leftrightarrow \,\, 10^b=b \]

Logarytm naturalny, to logarytm o podstawie \(e\) zapisujemy go w postaci: \(\ln b\) czyli: \(\log_e b\) jest to samo co \(\ln b\)

\[\large \ln b=c \,\, \Leftrightarrow \,\, e^c=b \] gdzie \(e \approx 2,271828\) jest liczbą niewymierną, zwaną liczbą Eulera.

Przykład jak obliczać logarytm krok po kroku

Zadanie 1

Oblicz logarytm : \( \log_2 8\)

Rozwiązanie

\( \log_2 8\) Nasz logarytm musi się równać pewnej liczbie. Dopiszmy więc do naszego logarytmu znak równości i jakąś szukaną liczbę

\( \log_2 8=?\) Szukaną liczbę oznaczymy literą \(y\), w matematyce nie używamy znaków ?

\( \log_2 8=y\) Teraz obliczamy liczbę \(y\) w tym celu korzystamy z definicji logarytmu \( \log_a x=y \Leftrightarrow a^y=x\) gdzie \( a=2 , x=8 , y=? \)

\( \log_2 8=y\Leftrightarrow 2^y=8\) Do obliczenia liczy \(y\) stosujemy "prawą" strona definicji logarytmu czyli \( 2^y= 8\)

\( 2^y= 8\) Mamy równanie wykładnicze, które rozwiązujemy sprowadzając je do wspólnej podstawy, zamieniamy \(8=2^3\)

\( 2^y= 2^3\) Mając wspólna podstawa, czyli liczbę 2 opuszczamy ją i otrzymujemy wynik.

\( y= 3\)

Odpowiedź

\( \log_2 8=3\)