RÓWNANIA KWADRATOWE
Definicja (Równanie kwadratowe)
Równaniem kwadratowym nazywamy równanie postaci:
\[ax^2+bx+c=0\]
gdzie: \(a\neq0\) i \(a, b, c \in \mathbb{R}\)
Uwaga: Równania kwadratowe z jedną niewiadomą mogą mieć różnorodną postać, ale zawsze występuje w nich \(x\) w drugiej potędze, czyli \(x^2\)
Przykłady
\[x^2+3x+4=0\]
\[-2x^2-8x=0\]
\[x^2=9\]
\[(2x-4)(x+5)=0\]
Dowolne równanie kwadratowe po przekształceniach da się zapisać w postaci \(ax^2+bx+c=0\) w których wyrazy b lub c mogą równać się zero.
Definicja (Rozwiązanie równania kwadratowego)
Rozwiązaniem równania kwadratowego (pierwiastkiem) nazywamy każdą liczbę, która spełnia to równanie, tzn. taką liczbę, która wstawiona w miejsce niewiadomej \(x\) zmienia równanie w zdanie prawdziwe (równość prawdziwą).
Równanie kwadratowe może mieć dwa, jedno lub brak rozwiązań.
Równanie kwadratowe \(ax^2+bx+c=0\) możemy podzielić na :
- równanie zupełne, jeżeli: \(a\cdot b\cdot c\neq0\)
- równanie niezupełne, jeżeli: \(a\neq0\) i ( \(b=0\) lub \(c=0\) )
| Pierwiastki równania kwadratowego zupełnego |
Postać
równania |
\(ax^2+bx+c=0\) |
| Delta |
\(\Delta =b^2-4ac\) |
| Założenie |
Pierwiastki |
| \(\Delta>0\) |
\(x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\)
\(x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\) |
| \(\Delta=0\) |
\(x_1=x_2=\frac{-b}{2a}\) |
| \(\Delta<0\) |
nie ma
pierwiastków |
| Pierwiastki równania kwadratowego niezupełnego |
Postać
równania |
Pierwiastki |
| \(ax^2=0\) |
\(x=0\) |
| \(ax^2+c=0\) |
gdy \(a\cdot c<0\) |
gdy \(a\cdot c>0\) |
\(x_1=\sqrt{-\frac ca}\)
\(x_2=-\sqrt{-\frac ca}\) |
nie ma
pierwiastków |
| \(ax^2+bx=0\) |
\(x_1=0\)
\(\displaystyle x_2=-\frac ba\) |
Równania kwadratowe są podstawą wielu dziedzin matematyki i nauk ścisłych, dlatego ich zrozumienie jest kluczowe dla dalszego rozwoju w tych dziedzinach.
RÓWNANIA KWADRATOWE - ZADANIA
RÓWNANIA TYPU : \(ax^2=0\)
Zadanie 1
Rozwiąż równanie kwadratowe: \(5x^2=0\)
Rozwiązanie
Zadanie 2
Rozwiąż równanie kwadratowe: \(2x^2=x^2\)
Rozwiązanie
RÓWNANIA TYPU : \(ax^2+c=0\)
Zadanie 3
Rozwiąż równanie kwadratowe: \(x^2-9=0\)
Rozwiązanie
Zadanie 4
Rozwiąż równanie kwadratowe: \(x^2+9=0\)
Rozwiązanie
Zadanie 5
Rozwiąż równanie kwadratowe: \(2x^2-4=0\)
Rozwiązanie
RÓWNANIA TYPU : \(ax^2+bx=0\)
Zadanie 6
Rozwiąż równanie kwadratowe: \(x^2+5x=0\)
Rozwiązanie
Zadanie 7
Rozwiąż równanie kwadratowe: \(2x^2=x\)
Rozwiązanie
Zadanie 8
Rozwiąż równanie kwadratowe: \(3x^2-5x=7x\)
Rozwiązanie
RÓWNANIA TYPU : \(ax^2+bx+c=0\)
Zadanie 9
Rozwiąż równanie kwadratowe: \(x^2+7x+6=0\)
Rozwiązanie
Zadanie 10
Rozwiąż równanie kwadratowe: \(-2x^2+5x+3=0\)
Rozwiązanie
Zadanie 11
Rozwiąż równanie kwadratowe: \(2x^2-12x+18=0\)
Rozwiązanie
Zadanie 12
Rozwiąż równanie kwadratowe: \(3x^2+5x+4=0\)
Rozwiązanie
RÓWNANIA KWADRATOWE RÓŻNEGO TYPU
Zadanie 13
Rozwiąż równanie kwadratowe: \((x-5)(x-2)=2x(x-8)\)
Rozwiązanie
Zadanie 14
Rozwiąż równanie kwadratowe: \((x+6)^2=2(12-x^2)\)
Rozwiązanie
Zadanie 15
Rozwiąż równanie kwadratowe: \(-(x+4)^2+5=x^2-11\)
Rozwiązanie
